מערכת סביבות

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

בטופולוגיה, מערכת סביבות היא קבוצת כל הסביבות של נקודה מסוימת במרחב טופולוגי. מערכת הסביבות מאפשרת לתאר את מבנה המרחב בסביבת נקודה כלשהי.

הגדרות מתמטיות

סביבה

עבור מרחב טופולוגי $X$, נקודה $x\in X$ ו-$N\subseteq X$, הקבוצה $N$ תקרא סביבה של $x$ אם ורק אם קיימת קבוצה פתוחה $U$ כך ש-$x\in U\subseteq N$. אם בנוסף $N$ היא קבוצה פתוחה בעצמה, $N$ תקרא סביבה פתוחה של $x$.

מערכת סביבות

עבור מרחב טופולוגי $X$ ונקודה $x\in X$ ניתן להגדיר:

${\mathcal {N}}(x):=\{N\subseteq X\mid N{\text{ is a neighborhood of }}x\}$

כלומר, ${\mathcal {N}}(x)$ היא קבוצת כל הסביבות של $x$ ונקראת מערכת הסביבות של $x$.

בסיס מקומי

עבור מרחב טופולוגי $X$, נקודה $x\in X$ וקבוצה ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {N}}(x)$, הקבוצה ${\mathcal {B}}$ תקרא בסיס מקומי של $x$ אם ורק אם לכל $N\in {\mathcal {N}}(x)$ קיים $B\in {\mathcal {B}}$ כך ש-$B\subseteq N$.

מסנן סביבות

כל מערכת סביבות של נקודה כלשהי מהווה מסנן לפי היחס $\subseteq$, ובפרט בסיס מקומי מהווה גם בסיס של המסנן לפי הגדרה.

הוכחה

על מנת להוכיח כי מערכת הסביבות היא מסנן יש להוכיח כי מתקיימות שלוש תכונות:

ראשית, $X\in {\mathcal {N}}(x)$ מכיוון שהמרחב כולו מהווה קבוצה פתוחה ומכיל את $x$.

שנית, יש להוכיח כי אם $N\in {\mathcal {N}}(x)$ ו-$N\subseteq N_{1}$ אז בהכרח $N_{1}\in {\mathcal {N}}(x)$. מאחר ש-$N$ היא סביבה של $x$ קיימת קבוצה פתוחה $U$ כך ש-$x\in U\subseteq N$. מאחר ש-$N\subseteq N_{1}$ מתקיים $x\in U\subseteq N_{1}$ משמע $N_{1}$ היא סביבה של $x$ ו-$N_{1}\in {\mathcal {N}}(x)$.

לבסוף, יש להוכיח כי לכל $N_{1},N_{2}\in {\mathcal {N}}(x)$ מתקיים $N_{1}\cap N_{2}\in {\mathcal {N}}(x)$. מאחר ש-$N_{1},N_{2}$ שתיהן סביבות פתוחות של $x$ קיימות זוג קבוצות פתוחות $U_{1},U_{2}$ כך ש-$x\in U_{1}\subseteq N_{1}$ ו-$x\in U_{2}\subseteq N_{2}$. מובן מכך כי $x\in U_{1}\cap U_{2}\subseteq N_{1}\cap N_{2}$ וכי $U_{1}\cap U_{2}$ קבוצה פתוחה (חיתוך שתי קבוצות פתוחות הוא קבוצה פתוחה), על כן $N_{1}\cap N_{2}$ היא סביבה של $x$ ו- $N_{1}\cap N_{2}\in {\mathcal {N}}(x)$.

מ.ש.ל.

שימושים

בעזרת מערכת סביבות של נקודה ובפרט בסיס מקומי ניתן לתאר את מבנה המרחב בנקודה הנתונה. כך למשל, מרחב קמור מקומית בנקודה כלשהי הוא מרחב שבו קיים לנקודה זו בסיס מקומי המורכב מקבוצות קמורות. באופן דומה ניתן להוכיח כי מרחב וקטורי טופולוגי בעל בסיס מקומי בן-בניה הוא מרחב מטריזבילי.

יתרה מכך, עבור חבורות טופולוגיות (ומרחבים וקטורים טופולוגיים בפרט) ניתן ליצור בסיס למרחב כולו באמצעות בסיס מקומי באיבר היחידה (בראשית עבור מרחבים וקטורים טופולוגיים) ופעולות הזזה.

דוגמאות

• עבור מרחב מטרי שלם $X$ עם המטריקה $d$ ונקודה $x\in X$, קבוצות כל הכדורים הפתוחים סביב $x$ מהווה בסיס מקומי של $x$. יתרה מכך, בהינתן סדרת רדיוסים חיוביים $r_{1},r_{2},r_{3},\dots$ כך ש-$r_{n}\to 0$ קבוצת כל הכדורים הפתוחים סביב $x$ בעלי רדיוסים אלו מהווה בסיס מקומי של $x$.
• עבור מרחב $X$ עם הטופולוגיה הטריוויאלית ונקודה $x\in X$, מערכת הסביבות של $x$ תהיה קבוצה של תת-הקבוצות של $X$ אשר מכילות את $x$.

קישורים חיצוניים

• מערכת סביבות, באתר MathWorld (באנגלית)